数学物理
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留数定理

文章目录
  1. 1. 留数定理
  2. 2. 留数的计算方法
  3. 3. 留数定理在定积分中的应用

留数定理

 设 U⊂CU \subset \mathbb{C} 是开集, ff 是 UU 上的亚纯函数.设 γ ⁣:[a,b]→U\gamma \colon [a, b] \to U 是可求长曲线,满足 γ(a)=γ(b)\gamma (a) = \gamma (b), 且 γ\gamma 不经过 ff 的极点,则

∮γf(z) dz=2πi⋅∑极点 z∈Un(γ,z)⋅Res⁡(f,z),\oint_{\gamma} f (z) \, \mathrm d z =2 \pi \mathrm{i} \cdot \sum_{\text{极点 } z \in U}n (\gamma, z) \cdot \operatorname{Res} (f, z),

其中 n(γ,z)n (\gamma, z) 是环绕数, Res⁡(f,z)\operatorname{Res} (f, z) 是留数,且求和中只有有限项非零.

特别地, 若 γ\gamma 不自交, 且以逆时针方向行进,记 Γ\Gamma 为其围成的区域,则定理中的环绕数当 zz 在 Γ\Gamma 内时为 11, 在其外为 00.此时, 留数定理可写为

∮γf(z) dz=2πi⋅∑极点 z∈ΓRes⁡(f,z),\oint_{\gamma} f (z) \, \mathrm d z =2 \pi \mathrm{i} \cdot \sum_{\text{极点 } z \in \Gamma}\operatorname{Res} (f, z),



留数的计算方法

 设 z0z_0 是 f(z)f(z) 的单极点，则函数在单极点的留数基本公式：

Res⁡f(z0)=lim⁡z→z0(z−z0)f(z)\operatorname{Res} f(z_0)= \lim\limits_{z \to z_0}(z-z_0)f(z)


 推论：如果 f(z)f(z) 可表示为 φψ\frac{\varphi}{\psi} ，只要 φ\varphi 和 ψ\psi 在点 z0z_0 上都是全纯的，且 φ(z0)≠0\varphi (z_0) \ne 0 ; ψ(z0)=0\psi (z_0) = 0 ，但 ψ′(z0)≠0\psi ^{'} (z_0) \ne 0 ，则 f(z)f(z) 在 z0z_0 点的留数也可使用以下公式计算：

Res⁡f(z0)=φψ′\operatorname{Res} f(z_0)=\frac{\varphi}{\psi ^{'}}


 在 f(z)f(z) 的n级极点 z0z_0 的留数公式为：

Res⁡f(z0)=1(n−1)!lim⁡z→z0d(n−1)[(z−z0)nf(z)]dz(n−1)\operatorname{Res} f(z_0)=\frac{1}{(n-1)!} \lim\limits_{z \to z_0} \frac{d^{(n-1)} [(z-z_0)^n f(z)]}{dz^{(n-1)}}



例题：

  1. 求 f(z)=1sin⁡zf(z)=\frac{1}{\sin z} 的一阶极点处的留数.

解: 因为一阶极点是 z=nπz=nπ (n为整数)，根据单极点的留数公式，有

Res⁡f(nπ)=lim⁡z→nπ(z−nπ)sin⁡z=(−1)n\operatorname{Res}f(nπ)=\lim\limits_{z \to n\pi} \frac{(z-n\pi)}{\sin z}=(-1)^n


或使用推论，令 φ(z)=1,ψ(z)=sinzφ(z)=1,ψ(z)=sin z ，于是有

Res⁡f(nπ)=φ(z)ψ′(z)=1(sin⁡z)′∣z→nπ=cos⁡z∣z→nπ=(−1)n\operatorname{Res} f(nπ)=\frac{φ(z)}{ψ'(z)}=\frac{1}{(\sin z)'}|_{z \to n\pi}=\cos z|_{z \to n\pi}=(-1)^n



  1. 求 f(z)=z+2iz5+4z3f(z)=\frac{z+2i}{z^5+4z^3} 各极点处的留数.

解: 因为 z+2iz5+4z3=z+2iz3(z2+4)=z+2iz3(z−2i)(z+2i)=1z3(z−2i)\frac{z+2i}{z^5+4z^3} = \frac{z+2i}{z^3 (z^2+4)} = \frac{z+2i}{z^3 (z-2i) (z+2i)} = \frac{1}{z^3 (z-2i)} , 说明 z=2iz=2i 是极点，所以该极点的留数是

Res⁡f(2i)=[(z−2i)f(z)]z→2i=(z−2i)1z3(z−2i)∣z→2i=1z3∣z→2i=−18i=i8\operatorname{Res} f(2i)=[(z-2i)f(z)]_{z \to 2i}=(z-2i)\frac{1}{z^3(z-2i)}|_{z \to 2i}=\frac{1}{z^3} |_{z \to 2i}=-\frac{1}{8i}=\frac{i}{8}


另外还有 z=0z=0 是 f(z)f(z) 的三级极点，按照 f(z)f(z) 在n级极点 z0z_0 的留数公式，该有点在 z=0z=0 处的留数为

Res⁡f(0)=1(3−1)!lim⁡z→0d(3−1)dz(3−1)[(z−0)3z3(z−2i)]=12⋅lim⁡z→0d2dz2(1z−2i)=12⋅2(z−2i)3∣z→0=1(−2i)3=−i8i4=−i8\operatorname{Res} f(0)=\frac{1}{(3-1)!} \lim_{ {z \to 0} } \frac{d^{(3-1)} }{dz^{(3-1)} } [\frac{(z-0)^3}{z^3(z-2i)}]=\frac{1}{2} \cdot \lim_{ {z \to 0} } \frac{d^2}{dz^2} (\frac{1}{z-2i})=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{(z-2i)^3}|_{z \to 0}=\frac{1}{(-2i)^3}=-\frac{i}{8i^4}=-\frac{i}{8}



留数定理在定积分中的应用

两个常用引理:

Jordan 引理: 设函数 ff 在 {z∣R0≤∣z∣<∞}∩H\{z \mid R_0 \leq |z| < \infty\} \cap H 连续, 其中 H={z∣Im⁡(z)≥0}H = \{z \mid \operatorname{Im}(z) \geq 0\} 为上半平面, 满足

lim⁡z→∞,z∈Hf(z)=0,\lim_{z \to \infty, z \in H} f(z) = 0,

则对任意 α>0\alpha > 0 有

lim⁡R→+∞∫CReiαzf(z)dz=0,\lim_{R \to +\infty} \int_{C_R} \mathrm e^{\mathrm i \alpha z} f(z) \mathrm dz = 0,

其中 CR={Reiθ∣θ∈[0,π]},R≥R0C_R = \{R \mathrm e^{\mathrm i \theta} \mid \theta \in [0,\pi]\}, R \geq R_0.


圆弧引理: 设函数 ff 在扇形 Cρ={z0+ρeiθ∣θ∈[α,β]}C_\rho = \{z_0 + \rho \mathrm e^{\mathrm i\theta} \mid \theta \in [\alpha,\beta]\} 上连续.

如果 lim⁡z→+∞(z−z0)f(z)=A\lim_{z \to +\infty} (z-z_0)f(z) = A, 则

lim⁡ρ→+∞∫Cρf(z)dz=i(β−α)A;\lim_{\rho \to +\infty} \int_{C_\rho} f(z) \mathrm dz = \mathrm i (\beta - \alpha) A;

如果 lim⁡z→z0(z−z0)f(z)=A\lim_{z \to z_0} (z-z_0)f(z) = A, 则

lim⁡ρ→0∫Cρf(z)dz=i(β−α)A.\lim_{\rho \to 0} \int_{C_\rho} f(z) \mathrm dz = \mathrm i (\beta - \alpha) A.



例题：计算 ∫0+∞1x4+1dx\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{x^{4}+1}dx

解: 令 f(z)=1z4+1dxf(z)=\frac{1}{z^{4}+1}dx 并构造于上半平面的半圆周曲线与实轴区间 [−R,R][-R,R] 所形成的围道C

求分母奇点 z4=−1z^4 = -1 即

rneiθn=ei(π+2kπ)r^n e^{i\theta n}=e^{i(\pi + 2k \pi)}

可得

r=1θ=π+2kπ4r=1 \qquad \theta = \frac{\pi +2k \pi}{4}

则位于上半平面的复数根解有

z1=eiπ4,z2=ei3π4z_1 = e^{i \frac{\pi}{4}},z_2 = e^{i \frac{3 \pi}{4}}

由留数定理有

∮Cf(z)dz=∫−RRf(x)dx+∫CRf(z)dz=2πi∑k=12Res[f,zk]\oint_{C} f(z)dz=\int_{-R}^{R}f(x)dx+\int_{C_R}f(z)dz=2\pi i\sum_{k=1}^{2}Res[f,z_{k}]

而

Res[f,zk]=z−z1z4+1∣z=z1+z−z2z4+1∣z=z2=1i22(11+i+11−i)=1i22Res[f,z_k]=\frac{z-z_1}{z^4+1}|_{z=z_1}+\frac{z-z_2}{z^4+1}|_{z=z_2}=\frac{1}{i2\sqrt{2}}(\frac{1}{1+i}+\frac{1}{1-i})=\frac{1}{i2\sqrt{2}}

则

∮Cf(z)dz=∫−RRf(x)dx+∫CRf(z)dz=2πi∑k=12Res[f,zk]=π2\oint_{C} f(z)dz=\int_{-R}^{R}f(x)dx+\int_{C_R}f(z)dz=2\pi i\sum_{k=1}^{2}Res[f,z_{k}]=\frac{\pi}{\sqrt{2}}

令 $R \to \infty $ ，则由圆弧引理得 $\int_{C_R}f(z)dz = 0 $ ，则

∫−∞+∞f(x)dx=π2\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\frac{\pi}{\sqrt{2}}

即

∫0+∞f(x)dx=π22\int_{0}^{+\infty}f(x)dx=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}




参考：

  1. https://www.bananaspace.org/wiki/留数定理

  2. 《积分的方法与技巧》———— 金玉明 顾新身 毛瑞庭，【中国科学技术大学出版社】

  3. https://zh.wikipedia.org/wiki/留数定理