数学物理
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矢量分析

文章目录
  1. 1. 三个常用坐标系下的坐标变换和体积元
    1. 1.1. 1. 直角坐标系
    2. 1.2. 2. 圆柱坐标系
    3. 1.3. 3. 球坐标系
  2. 2. 矢量代数运算公式
  3. 3. 在三种坐标系下的矢量分析常用公式
    1. 3.1. 1. 直角坐标系
    2. 3.2. 2. 圆柱坐标
    3. 3.3. 3. 球坐标
    4. 3.4. 4. ∇\nabla∇ 算符的运算公式
  4. 4. 矢量积分的两个公式
    1. 4.1. 1. 高斯公式
    2. 4.2. 2. 斯托克斯公式

三个常用坐标系下的坐标变换和体积元


1. 直角坐标系


 如图所示，空间中一点 M(x,y,z)M(x,y,z) 位置由 OMOM 在三个坐标轴上的投影值 xx 、 yy 、 zz 表示，单位矢量 x^\hat{x} 、y^\hat{y}、z^\hat{z}，分别表示三个方向，一个矢量 AA 可表示为：

A=Axx^+Ayy^+Azz^\mathbf{A} = A_x\mathbf{\hat{x}} + A_y\mathbf{\hat{y}} + A_z\mathbf{\hat{z}}


AA 的大小为

∣A∣=(Ax2+Ay2+Az2)1/2|\mathbf{A}| = (A_x^2 + A_y2 + A_z^2)^{1/2}


积分用的体积元

dV=dxdydzdV=dxdydz

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2. 圆柱坐标系


 如图所示，空间中一点 M(ρ,ϕ,z)M(\rho , \phi , z)，ρ\rho,ϕ\phi 为点 MM 在 OxyOxy 平面上的投影的极坐标 MM 到 OxyOxy 平面的距离，圆柱坐标与直角坐标的互换公式为

{x=ρcosϕ,y=ρsinϕ,z=z,{ρ=x2+y2ϕ=arctan⁡yxz=z\begin{cases} x=\rho\mathrm{cos}\phi, \\ y=\rho\mathrm{sin}\phi, \\ z=z, & \end{cases}\quad \begin{cases} \rho=\sqrt{x^2+y^2} \\ \\ \phi=\arctan\frac{y}{x} \\ \\ z=z & \end{cases}


一个矢量 AA 可表示为

A=Aρρ^+Aϕϕ^+Azz^\mathbf{A}=A_{\rho} \mathbf{\hat{\rho}} +A_{\phi} \mathbf{\hat{\phi}} +A_{z} \mathbf{\hat{z}}

式中，ρ^\mathbf{\hat{\rho}} 、ϕ^\mathbf{\hat{\phi}} 、z^\mathbf{\hat{z}} 是矢量 A\mathbf{A} 所在空间点的圆柱坐标的单位矢量。


积分用的柱面面积元

dS=ρdϕdzdS= \rho d \phi dz


积分用的体积元

dV=ρdρdϕdzdV=\rho d \rho d \phi dz

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3. 球坐标系


 如图所示，空间中一点 M(r,ϕ,θ)M(r , \phi , \theta)，rr 为 OMOM 的长度，ϕ\phi 为经度，θ\theta 为纬度。球坐标与直角坐标的互换公式为


{x=rsin⁡θcos⁡ϕ,y=rsin⁡θsin⁡ϕ,z=rcos⁡θ,{r=x2+y2+z2ϕ=arctan⁡yxθ=arctan⁡x2+y2z\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi, \\ y=r\sin\theta\sin\phi, \\ z=r\cos\theta, & \end{cases} \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \phi=\arctan\frac{y}{x} \\ \theta=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} & \end{cases}


一个矢量 AA 可表示为

A=Arr^+Aϕϕ^+Aθθ^\mathbf{A}=A_{r} \mathbf{\hat{r}} +A_{\phi} \mathbf{\hat{\phi}} +A_{\theta} \mathbf{\hat{\theta}}

式中，r^\mathbf{\hat{r}} 、ϕ^\mathbf{\hat{\phi}} 、θ^\mathbf{\hat{\theta}} 是矢量 A\mathbf{A} 所在空间点的球坐标的单位矢量。


积分用的球面面积元

dS=r2sinθdθdϕdS=r^2 sin \theta d \theta d \phi


积分用的体积元

dV=r2sinθdrdθdϕdV=r^2 sin \theta dr d\theta d\phi


立体角元

dΩ=dSr2=sinθdθdϕd\varOmega = \frac{dS}{r^2}=sin \theta d\theta d\phi

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矢量代数运算公式


两个矢量的标量积（或称点积、内积）

A⋅B=B⋅A=∣A∣∣B∣cosα\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A} = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| cos \alpha


α\alpha 是矢量 A\mathbf{A} 与 B\mathbf{B} 之间的夹角。标量积又可表示为

A⋅B=AxBx+AyBy+AzBz\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x B_x +A_y B_y+A_z B_z


两个矢量的矢量积（或称叉积、外积）

A×B=−B×A=∣x^y^z^AxAyAzBxByBz∣=(AyBz−AzBy)x^+(AzBx−AxBz)y^+(AxBy−AyBx)z^\begin{aligned} \mathbf{A}\times\mathbf{B}= & -\mathbf{B}\times\mathbf{A}= \begin{vmatrix} {\mathbf{\hat{x} } } & {\mathbf{\hat{y} } } & {\mathbf{\hat{z} } } \\ {A_{x} } & {A_{y} } & {A_{z} } \\ {B_{x} } & {B_{y} } & {B_{z} } \end{vmatrix} \\ & =(A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y})\mathbf{\hat{x} }+(A_{z}B_{x}-A_{x}B_{z})\mathbf{\hat{y} }+(A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x})\mathbf{\hat{z} }\end{aligned}


又有

∣A×B∣=∣A∣∣B∣sinα,(0≤α≤π)|\mathbf{A} \times \mathbf{B}|=|\mathbf{A} | |\mathbf{B} |sin \alpha , \qquad (0\le \alpha \le \pi)

A\mathbf{A} 、B\mathbf{B} 与 A×B\mathbf{A} \times \mathbf{B} 三个矢量构成右手系，如图所示

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三个矢量的混合积

A⋅(B×C)=∣AxAyAzBxByBzCxCyCz∣=Ax(ByCz−BzCy)+Ay(BzCx−BxCz)+Az(BxCy−ByCx)=C⋅(A×B)=B⋅(C×A)\begin{aligned} \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})= & \left.\left| \begin{array} {ccc}{A_{x} } & {A_{y} } & {A_{z} } \\ {B_{x} } & {B_{y} } & {B_{z} } \\ {C_{x} } & {C_{y} } & {C_{z} } \end{array}\right.\right| \\ =A_{x}\left(B_{y}C_{z}-B_{z}C_{y}\right) & +A_{y}(B_{z}C_{x}-B_{x}C_{z})+A_{z}(B_{x}C_{y}-B_{y}C_{x}) \\ =\mathbf{C}\cdot (\mathbf{A}\times \mathbf{B})=\mathbf{B}\cdot(\mathbf{C}\times \mathbf{A}) \end{aligned}

混合积是一个数，它的绝对值等于以 A\mathbf{A} 、B\mathbf{B} 、 C\mathbf{C} 为边的平行六面体的体积。


三重矢积

A×(B×C)=B(A⋅C)−C(A⋅B)\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) =\mathbf{B}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) - \mathbf{C}(\mathbf{A}\cdot \mathbf{B})



在三种坐标系下的矢量分析常用公式

1. 直角坐标系


散度

∇⋅A=divA=∂Ax∂x+∂Ay∂y+∂Az∂z\nabla\cdot \mathbf{A}=\mathrm{div} \mathbf{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}


旋度

∇×A=rot⁡A=∣x^y^z^∂∂x∂∂y∂∂zAxAyAz∣=(∂Az∂y−∂Ay∂z)x^+(∂Ax∂z−∂Az∂x)y^+(∂Ay∂x−∂Ax∂y)z^\begin{aligned} \mathbf{\nabla}\times\mathbf{A}= & \operatorname{rot}\mathbf{A}= \begin{vmatrix} {\boldsymbol{\hat{x} } } & {\boldsymbol{\hat{y} } } & {\boldsymbol{\hat{z} } } \\ {\frac{\partial}{\partial x} } & {\frac{\partial}{\partial y} } & {\frac{\partial}{\partial z} } \\ {A_{x} } & {A_{y} } & {A_{z} } \end{vmatrix} \\ = & \left(\frac{\partial A_{z} }{\partial y}-\frac{\partial A_{y} }{\partial z}\right)\boldsymbol{\hat{x} }+\left(\frac{\partial A_{x} }{\partial z}-\frac{\partial A_{z} }{\partial x}\right)\boldsymbol{\hat{y} } +\left(\frac{\partial A_{y} }{\partial x}-\frac{\partial A_{x} }{\partial y}\right)\boldsymbol{\hat{z} }\end{aligned}


梯度

∇Φ=gradΦ=∂Φ∂xx^+∂Φ∂yy^+∂Φ∂zz^\nabla\Phi=\mathrm{grad}\Phi=\frac{\partial\Phi}{\partial x}\boldsymbol{\hat{x} }+\frac{\partial\Phi}{\partial y}\boldsymbol{\hat{y} }+\frac{\partial\Phi}{\partial z}\boldsymbol{\hat{z} }


拉普拉斯算符 $\nabla ^2 $ 运算

∇2Φ=∂2Φ∂x2+∂2Φ∂y2+∂2Φ∂z2\nabla^{2} \Phi=\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial z^{2}}


2. 圆柱坐标


散度

∇⋅A=1ρ∂∂ρ(ρAρ)+1ρ∂Aϕ∂ϕ+∂Az∂z\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{A}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho A_{\rho})+\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{\phi}}{\partial\phi}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z}


旋度

∇×A=(1ρ∂Az∂ϕ−∂Aϕ∂z)ρ^+(∂Aρ∂z−∂Az∂ρ)ϕ^+1ρ[∂∂ρ(ρAϕ)−∂Aρ∂ϕ]z^\mathbf{\nabla}\times\mathbf{A} =\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{z} }{\partial\phi}-\frac{\partial A_{\phi} }{\partial z}\right)\hat{\boldsymbol{\rho}}+\left(\frac{\partial A_{\rho} }{\partial z}-\frac{\partial A_{z} }{\partial\rho}\right)\hat{\boldsymbol{\phi} }+\frac{1}{\rho}\left[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho A_{\phi} )-\frac{\partial A_{\rho} }{\partial\phi}\right]\boldsymbol{\hat{z} }


梯度

∇Φ=∂Φ∂ρρ^+1ρ∂Φ∂ϕϕ^+∂Φ∂zz^\nabla\Phi=\frac{\partial\Phi}{\partial\rho}\hat{\boldsymbol{\rho} }+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\Phi}{\partial\phi}\hat{\boldsymbol{\phi} }+\frac{\partial\Phi}{\partial z}\hat{\boldsymbol{z} }


拉普拉斯算符 $\nabla ^2 $ 运算

∇2Φ=1ρ∂∂ρ(ρ∂Φ∂ρ)+1ρ2∂2Φ∂ϕ2+∂2Φ∂z2\mathbf{\nabla}^{2} \Phi=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\rho\frac{\partial\Phi}{\partial\rho}\right)+\frac{1}{\rho^{2} }\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\phi^{2} }+\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial z^{2} }


3. 球坐标


散度

∇⋅A=1r2∂∂r(r2Ar)+1rsinθ∂∂θ(Aθsinθ)+1rsinθ∂Aϕ∂ϕ\nabla \cdot \mathbf{ A}=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}(r^{2}A_{r})+\frac{1}{r\mathrm{sin}\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(A_{\theta}\mathrm{sin}\theta)+\frac{1}{r\mathrm{sin}\theta}\frac{\partial A_{\phi}}{\partial\phi}


旋度

∇×A=1rsinθ[∂∂θ(Aϕsinθ)−∂Aθ∂ϕ]r^+1r[1sinθ∂Ar∂ϕ−∂∂r(rAϕ)]θ^+1r[∂∂r(rAθ)−∂Ar∂θ]ϕ^\mathbf{\nabla}\times\mathbf{A}= \frac{1}{r\mathrm{sin}\theta}\left[\frac{\partial}{\partial\theta}(A_{\phi}\mathrm{sin}\theta)-\frac{\partial A_{\theta} }{\partial\phi}\right]\boldsymbol{\hat{r} }+\frac{1}{r}\left[\frac{1}{\mathrm{sin}\theta}\frac{\partial A_{r} }{\partial\phi}-\frac{\partial}{\partial r}(rA_{\phi})\right]\boldsymbol{\hat{\theta} } +\frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}(rA_{\theta})-\frac{\partial A_{r} }{\partial\theta}\right]\hat{\boldsymbol{\phi} }


梯度

∇Φ=∂Φ∂rr^+1r∂Φ∂θθ^+1rsinθ∂Φ∂ϕϕ^\nabla\Phi=\frac{\partial\Phi}{\partial r}\boldsymbol{\hat{r} }+\frac{1}{r}\frac{\partial\Phi}{\partial\theta}\boldsymbol{\hat{\theta} }+\frac{1}{r\mathrm{sin}\theta}\frac{\partial\Phi}{\partial\phi}\boldsymbol{\hat{\phi} }


拉普拉斯算符 $\nabla ^2 $ 运算

∇2Φ=1r2∂∂r(r2∂Φ∂r)+1r2sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂Φ∂θ)+1r2sin⁡2θ∂2Φ∂ϕ2\mathbf{\nabla}^{2}\Phi= \frac{1}{r^{2} }\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial\Phi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial\Phi}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\phi^{2} }


4. ∇\nabla 算符的运算公式

  ff 和 gg 是空间位置的标量函数，A\mathbf{A} 和 B\mathbf{B} 是空间位置的矢量函数，则有

∇(f+g)=∇f+∇g∇⋅(A+B)=∇⋅A+∇⋅B∇×(A+B)=∇×A+∇×B∇(fg)=(∇f)g+f(∇g)∇⋅(fA)=(∇f)⋅A+f(∇⋅A)∇×(fA)=(∇f)×A+f(∇×A)∇(A⋅B)=(B⋅∇)A+B×(∇×A)+(A⋅∇)B+A×(∇×B)∇⋅(A×B)=B⋅(∇×A)−A⋅(∇×B)∇×(A×B)=(B⋅∇)A+A(∇⋅B)−(A⋅∇)B−B(∇⋅A)∇×(∇f)=0∇⋅(∇×A)=0∇⋅(∇f)=∇2f\begin{gathered} \nabla(f+g)=\nabla f+\nabla g \\ \nabla\cdot(\mathbf{A}+\mathbf{B})=\nabla\cdot \mathbf{A}+\nabla\cdot \mathbf{B} \\ \nabla\times(\mathbf{A}+\mathbf{B})=\nabla\times \mathbf{A}+\nabla\times \mathbf{B} \\ \nabla(fg)=(\nabla f)g+f(\nabla g) \\ \nabla\cdot(f\mathbf{A})=(\nabla f)\cdot \mathbf{A}+f(\nabla\cdot \mathbf{A}) \\ \nabla\times(f\mathbf{A})=(\nabla f)\times\mathbf{A}+f(\nabla\times\mathbf{A}) \\ \nabla(\mathbf{A}\cdot \mathbf{B})=(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A}+\mathbf{B}\times(\nabla\times \mathbf{A})+(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}+\mathbf{A}\times(\nabla\times \mathbf{B}) \\ \nabla\cdot(\mathbf{A}\times \mathbf{B})=\mathbf{B}\cdot(\nabla\times \mathbf{A})-\mathbf{A}\cdot(\nabla\times \mathbf{B}) \\ \nabla\times(\mathbf{A}\times \mathbf{B})=(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A}+\mathbf{A}(\nabla\cdot \mathbf{B})-(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}-\mathbf{B}(\nabla\cdot \mathbf{A}) \\ \nabla\times(\nabla f)=0 \\ \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0 \\ \nabla\cdot(\nabla f)=\nabla^{2}f \end{gathered}



矢量积分的两个公式


1. 高斯公式


∮SA⋅dS=∭V∇⋅AdV\oint_{S}\mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{A}\mathrm{d}V

式中，VV 为闭合面 SS 所围的体积


2. 斯托克斯公式


∮LA⋅dl=∬S(∇×A)⋅dS\oint_L\mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\iint_S(\nabla\times\boldsymbol{A})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}




参考书籍：《电磁学与电动力学》上册附录 $IV$ ————胡友秋 【科学出版社】（基本上照着抄的属于是）