δ函数

$\delta (x-x_0)$ 的定义为：

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta (x-x_0)dx=f(x_0)$

同理可得：

$f(x)\delta (x-x_0)=f(x_0)\delta (x-x_0)$

若 $\varphi (x)$ 为连续函数，$\varphi (x)=0$ 只有单根 $x_k(k=1,2...N)$ 则有：

$\delta[\varphi (x)]=\sum_{k=1}^{N}\frac{\delta (x-x_k)}{|\varphi ^{'}(x_k)|}$

可得：

$\delta (ax)=\frac{1}{|a|}\delta (x)$

$\delta (-x)=\delta(x)$

含 $\delta $ 函数的导数的积分公式：

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta ^{(n)}(x-x_0)dx = (-1)^n f^{(n)}(x_0)$

$\delta $ 函数的常用傅里叶积分：

$\delta (x-x^{'})=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}e^{ik(x-x^{'})}dk=\frac{1}{2\pi \hbar}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ip(x-x^{'})/ \hbar}dp$

$\delta ^3 (x-x^{'})=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}e^{ik(x-x^{'})}d^3 k=\frac{1}{(2\pi \hbar)^3}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ip(x-x^{'})/ \hbar}dp$

$\delta (p-p^{'})=\frac{1}{2\pi \hbar}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ix(p-p^{'})/ \hbar}dx$

还有一些性质或者表达式懒得写了，比如极限的表达式或者拉普拉斯算符的表达式，有用到的以后再补吧